某些数学问题，若从全局着眼，从整体角度把握解题的方向与策略，常能化繁为简，化难为易。现以近几年 竞赛题为例，举例说明如下。一、整体变形例1. （2006年山东省初中数学竞赛题）已知
，则
的值为（
）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
解：因为
所以
故选C
。例2. （2006年全国初中数学竞赛题）已知
，且
，则a的值等于（
）
A. －5
B. 5
C. －9
D. 9
分析：直接代入计算，显然较繁，可分别对已知两个等式进行整体变形再整体代入。
解：因为
所以
即
同理，得
又因为
即
所以
所以
。故选C。
例3. （2006
年山东省初中数学竞赛题）已知
求
的值。解：由已知等式，得
又因为
于是有
所以
二、整体合并例4. （2002
年全国初中数学竞赛题）设a
、b
、c
为实数，
则x
、y
、z
中，至少有一个值（）A.
大于0
B.
等于0
C.
不大于0
D.
小于0
分析：因a
、b
、c
是变量，且大小关系不确定，难以分别判断x
、y
、z
的值的符号。若采用整体合并，求出
的策略，辅之以适当变形，易得结论。
解：
因为
所以
所以x、y、z中至少有一个大于0，
故选A。
例5. （2001年TI杯全国初中竞赛题）若
求
的值。
解：把两个方程相加并整理得：
所以
所以
或
三、整体把握例6.（第八届“祖冲之杯”初中数学邀请赛题）已 知两个三位数
与
的和，
能被37
整除。求证：六位数
也能被37
整除。证明：因为
又因为
即999
能被37
整除。又因为能被37
整除，所以能被37
整除。四、整体转化例7. （1997
年“希望杯”初二数学竞赛题）已知a
、b
、c
为实数，且
那么
的值是____________
。解：将三个条件等式分别取倒数，得
则
三式相加，并整理得：
即
上式再取倒数，得
五、整体补形例8. （2003
年全国初中数学联赛题）如图1
，已知电线杆AB
直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD
和地面BC
上。如果CD
与地面成45
°，∠A
＝60
°，CD
＝4m
，
，则电线杆AB
的长为___________m
。（精确到0.1m
）
分析：观察图形，易想到四边形ABCD
是Rt
△ABE
的一部分，故可整体补形成直角三角形，再据解直角三角形的有关知识解决。解：延长AD
交地面BC
于E
，过D
作DF
⊥CE
于F
。因为∠DCF
＝45
°，∠A
＝60
°，CD
＝4
，所以
又
所以
六、整体联想例9. （2006
年全国初中数学联赛题）求使
取得最小值的实数x
的值。分析：若通过化简变形求出式子的最小值，则问题会变得复杂，若从整体上观察式子的结构特征，联想到几 何有关知识，把式子看作是直角三角形的两斜边的和，通过构造几何图形，问题就变得容易了。解：据题意构造图形2
，令AD
＝8
，AB
⊥AD
于A
，CD
⊥AD
于D
，AB
＝2
，CD
＝4
。设AP
＝x
，则PD
＝8
－x
。
所以
设BC
交AD
于P
′，当且仅当B
、P
′、C
三点共线时等号成立。取得最小值，此时最小值等于BC
的长。过A
作AE
∥BC
交DC
的延长线于E
，此时，
于是，易知△ABP
′∽△DCP
′。故有
解得
